Desarrollo de un binomio al cuadrado

Expandir una ecuación como A Bn sólo significa multiplicarla. Utilizando el álgebra estándar, la ecuación A B2 puede expandirse en la forma A2 2AB B2. Del mismo modo, A B4 puede escribirse A4 4A3B 6A2 B2 4AB3 B4.

Observa que los términos de A y B siguen el patrón general AnB0,An-1B1,An-2B2,An-3B3,…,A1Bn-1, A0Bn. Observa también que a medida que aumenta el valor de n, aumenta el número de términos. Esto hace que encontrar los coeficientes de los términos individuales en una ecuación con un valor grande de n sea tedioso. Por ejemplo, sería engorroso encontrar el coeficiente para el término A4B3 en la expansión de A B7 si utilizáramos este enfoque algebraico.

La inconveniencia de este método llevó al desarrollo de otras soluciones para el problema de la expansión de un binomio. Una solución, conocida como el triángulo de Pascal, utiliza una matriz de números que se muestra a continuación para determinar los coeficientes de cada término. Cuando los binomios se elevan al cuadrado, el trinomio resultante sigue un patrón.

El patrón puede derivarse del proceso general de multiplicar un binomio por otro binomio, excepto que todos los términos son iguales. Al igual que en el proceso general, se utiliza la propiedad distributiva y se combinan los términos iguales. ¿Qué es un binomio al cuadrado?

Un binomio al cuadrado es un polinomio con dos términos multiplicados por sí mismo. Por ejemplo, 2x 5 es un binomio, multiplicado por sí mismo es 2x 52x 5. Del mismo modo y – 2 es un binomio, multiplicado por sí mismo es y – 2y – 2.

El concepto de elevar al cuadrado un binomio no es diferente de elevar al cuadrado cualquier número o variable. Expandir una expresión como A Bn sólo significa multiplicarla. Utilizando el álgebra estándar, la ecuación A B2, por ejemplo, puede expandirse en la forma A2 2AB B2.

Del mismo modo, A B4 puede escribirse A4 4A3B 6A2B2 4AB3 B4. Observe que los términos de A y B siguen el patrón general AnB0, An-1B1, An-2B2, An-3B3, A1Bn-1, A0Bn. Observa también que a medida que aumenta el valor de n, aumenta el número de términos. Esto hace que encontrar los coeficientes de los términos individuales en una ecuación con un valor grande de n sea tedioso.

Por ejemplo, sería engorroso encontrar el coeficiente del término A4B3 en la expansión de A B7 si utilizáramos este enfoque algebraico. La inconveniencia de este método llevó al desarrollo de otras soluciones para el problema de la expansión de un binomio. Una solución, conocida como el triángulo de Pascal, utiliza una matriz de números que se muestra a continuación para determinar los coeficientes de cada término.

Este triángulo de números se crea siguiendo una simple regla de adición. Los números de una fila son iguales a la suma de los dos números de la fila inmediatamente superior. En la quinta fila, el segundo término, el 4, es igual a la suma de los dos números de arriba, el 31.

Cada fila representa los términos de la expansión del binomio de la izquierda. Por ejemplo, los términos de AB3 son A33A2B3AB2B3. Obviamente, el coeficiente para los términos A3 y B3 es 1.

El triángulo de Pascal funciona de forma más eficiente que el enfoque algebraico, sin embargo, también se vuelve tedioso crear este triángulo para binomios con un valor n grande.